Previous Entry Share Next Entry
photo24

(репост) О пользе математического образования

Оригинал взят у plakhov в О пользе математического образования
Я закончил мехмат примерно 11 лет назад. Не знаю, как сейчас, но в 2002 году весь наш выпуск заботил совершенно практический вопрос: зачем стране 400 математиков в год, и чем мы все будем заниматься через несколько месяцев? Понятно, что какие-то варианты были тогда, как есть они и сейчас, но ощущение глобальной недосказанности присутствовало.

У нас было понимание того, чем занимались "математики" в СССР, когда программа мехмата и стиль обучения на нём были сформированы и зафиксированы. Вполне понятно было, что, вопреки желаниям многих "настоящих", харкорных математиков, структура эта предназначалась для выпуска людей, помогающих производить всякий ценный equipment для богини Кали, ну или там, звездные звездолёты. С тех пор остались какие-то рудименты того времени -- объединение механиков с математиками в единую структуру, такие дисциплины, как "уравнения математической физики" и "теория управления" и тп, но ясно, что мир изменился. Что дальше?

Или тот же вопрос с другого боку. Как известно, науки делятся на естественные, неестественные и сверхъестественные. Естественные изучают окружающий мир, гуманитарные человеческую культуру и общество, математика изучает саму себя. Зачем?

Часто встречаю заклинания вида "математика закаляет ум" и им подобные. По-моему, это брехня и wishful thinking. Да, выпускники мехмата в среднем умнее произвольно взятого жителя Мск. Но основные причины тому - вступительные экзамены и первая сессия, то есть исходный отбор, а вовсе не последующее обучение. Ум закаляет первое полномасштабное столкновение с реальностью (aka "попробуй применить свои знания с пользой, или будь уволен"), а вузовская математика это обучение плаванию на суше. Возможно, пяти-шестилетние занятия и прививают какой-то особенный стиль мышления, но я бы сказал, что он очень неестественный и местами вредный (отвращение к грубой реальности, вера в "короткий путь", путаница между существованием и конструируемостью, склонность к тавтологическим манипуляциям с исходными данными). От него лучше избавляться.

Пожил я немного, осмотрелся, и увидел, что на самом деле у математики много разновидностей.

У экономистов математика своя. Многие формально допустимые операции "запрещены", и что запрещено, а что нет, не сразу разберешь. Скажем, вместо слова "производная" в учебниках пишут "предельное что-то там"; зачем? А чтобы ложные ассоциации не мешали, не было искушения записать всё формулами и начать применять к ним знакомые преобразования, не нужно вот здесь вот этого вот.

У физиков своя. "Разрешены" некоторые формально недопустимые операции, например, интеграл антисимметричной функции от минус до плюс бесконечности заменяется на 0, даже если он расходящийся; на самом деле, определенные основания для этой шокирующей операции есть, но они вслух не проговариваются и по своей сложности превосходят всё, что нам рассказывали вокруг неё. Вообще, кажется, математика используется в физике не только (а в последнее время, кажется, и не столько) как инструмент, но и как источник вдохновения. "Не совсем понятно, что эта формальная операция значит в действительности, но смотрите, получается, что может быть и так, а строгость, если что, потом ещё наведем".

Computer scientist'ы вообще соорудили ещё одну науку о тех же математических объектах (ультрафинитистскую, прям как завещал Есенин-Вольпин, но с точки зрения "большой математики" не особенно содержательную). И уж вообще нигде, кроме собственно математики, слова "случайная величина" не означают "функция, измеримая относительно борелевской сигма-алгебры".

Всё это подозрительно как-то, как это математик может быть несколько, не обманывают ли все эти еретики и нас, и сами себя?

Разгадка в том, что в каждой области абстракции, напоминающие одни и те же математические, используются для описания существенно разных феноменов реального мира. Зазоры, возникающие между соответствующей частью реальности и абстракцией, становятся больше или меньше в зависимости от того, что мы с ней проделываем. Заметим, что эти зазоры на языке самой используемой абстракции обычно никак не выражаются, поэтому опасность перепутать территорию с картой и заняться какими-то бессодержательными манипуляциями с последней, для математика, не имеющего опыта в данной области, очень велика. А профессионалы в каждой области обычно достаточно быстро вырабатывают интуицию - что "можно", а что "нельзя". Инструменты при этом в прикладных задачах, как правило, очень простые (см. анекдот про применение интеграла в армии).

Зачем же тогда математики? А они - то есть мы - предположительно знают, как используемые абстракции ведут себя "сами по себе", в том числе, какие у них есть неожиданные свойства, опасные или, наоборот, удобные, и в какие нетривиальные ситуации они могут завести (вырожденные случаи, нарушения привычных предположений гладкости или существования, и т.п.)

Пара "задач" на понимание того, о чём идет речь.

"Задача" 1: Всегда ли процедура «сложить результаты нескольких измерений и поделить на их количество» осмысленна? Осмысленна ли она, если измерение – это среднегодовой доход пойманного на улице человека? Если нет, то на что её заменить?

Великую и ужасную центральную предельную теорему на практике многие применяют так: "если сложить много случайных величин, то сумма окажется нормально распределенной". "Задача" 2: придумайте «жизненный» пример ситуации, в которой ЦПТ опасно понимать как «если кучу всего сложить, то получим нормальное распределение».

"Задача" 3. В симуляторе, например, бильярда расчет идёт по шагам; скорость шарика умножается на дельта тэ и прибавляется к его текущим координатам. Если при этом шарик попадет в "запрещенную конфигурацию", смотрим, с какими объектами он пересекся, и меняем его скорость соответствующим образом. Правда ли, что это хороший способ моделирования? Что тут может пойти не так, и что можно улучшить?

Если вы после пяти-шести лет в ВУЗе умеете отвечать вот на такие вопросы, то чем-то вам математическое образование пригодится. А если нет, то у вас был хороший, запоминающийся отпуск и будет ценная, престижная бумажка. Ну, в принципе, тоже ничего.


  • 1
ex_juan_gan May 21st, 2013
Не разделяю пафоса. Плахов говорит за всю математику с точки зрения довольно узкого опыта и довольно специфического образования.

wizzard0 May 21st, 2013
Если оттуда вынуть пафос, то пост получится нудный и затянутый. А так ниче, задора вполне хватает на дочитать %)

В смысле, я не полностью согласен с Плаховым, но точка зрения явно имеет право на жизнь. А так... в зависимости от выборки, тут что угодно сказать можно, кому-то польза, кому-то вообще вред...

plakhov May 21st, 2013
Никакого пафоса, просто мысли. Если вы знаете больше меня, расскажите.

ex_juan_gan May 21st, 2013
Я бы и рассказал, да предусловие "знаю больше Вас" меня останавливает. Ни на что подобное я не претендую; так что извините.

plakhov May 22nd, 2013
Расскажите все равно. Интересно же.

Да, и ещё. Я так понял, что написал кривовато - многие восприняли пост так, что это рассуждение о том, "зачем математика", возможно, и вы. Но я вовсе не это имел в виду, я писал всего лишь "зачем математическое образование человеку, который потом не будет работать математиком". Пост на тему "зачем математика" я бы писал гораздо дольше получаса, если бы вообще рискнул. :)

ady_1981 May 21st, 2013
Слишком поверхностный взгляд, на мой вкус. То, что после ВУЗа математику для поиска приемлемой работы придется доучиваться и переучиваться - скорей всего. То, что математика применяется в прикладных областях - да. Вообще про применимость математики есть классическая книжка «Апология математика» Г. Харди , немного устаревшая правда.

ady_1981 May 22nd, 2013
И раз уж про физиков...
>"Не совсем понятно, что эта формальная операция значит в действительности, но смотрите, получается, что может быть и так, а строгость, если что, потом ещё наведем".
Тут нельзя сказать, что это своя математика. Математика конечно всегда одна и та же. Действительно физики не боятся бесконечностей в выводах, потому что они редко (читай очень редко, почти никогда не) случаются в реальности. Для физика сначала нужно понять, есть ли смысл в этом формализме вообще. И если он есть, а это случается крайне редко и за каждом из классов этих случаев стоит Нобелевка, то за него нужно хвататься и не отпускать. Есть бесконечно много причин, почему расходящийся интеграл станет сходящемся в реальности. Но нет ни одной причины использовать формализм, который ничего не объясняет и не дает ничего нового. И действительно ниоткуда не следует, что приняв бесконечный интеграл за конечный сейчас в конце пути не получится неустраняемый математический абсурд. Вторая (не менее важная) часть работы как раз состоит в том, чтобы построить теорию математически чисто. Все законченные физические теории математически чисты (и, как с недавних пор принято, могут быть сформулированы не в единственном математическом формализме).

Edited at 2013-05-22 06:25 pm (UTC)

ady_1981 May 22nd, 2013
И раз уж про задачи... :)

"Задача 1: Всегда ли процедура «сложить результаты нескольких измерений и поделить на их количество» осмысленна? Осмысленна ли она, если измерение – это среднегодовой доход пойманного на улице человека? Если нет, то на что её заменить?"

Нет теоремы, которая бы говорила, что "процедура сложить результаты нескольких измерений и поделить на их количество - осмысленна". Все эти теоремы - предельные. Учат они нас тому: что если хочется, то можно? Нельзя. А если очень хочется? То - можно. Реальную ошибку этого "можно", можно узнать только эмпирически в рамках границ другого "можно". Это же справедливо и для задачи 2.

Великую и ужасную центральную предельную теорему на практике многие применяют так: "если сложить много случайных величин, то сумма окажется нормально распределенной". "Задача" 2: придумайте «жизненный» пример ситуации, в которой ЦПТ опасно понимать как «если кучу всего сложить, то получим нормальное распределение».

"ЦПТ опасно понимать" звучит как-то романтически. Я бы сказал, что существует такое количество элементов в куче, к которой мы собираемся применять ЦПТ, такое что понимание "ЦПТ опасно понимать" опаснее, чем понимание "собираемся применять ЦПТ" :). А теорему про нормальное распределение еще никто не смог опровергнуть. А ничего проще и универсальнее нормального распределения еще никто не смог придумать.

"Задача" 3. В симуляторе, например, бильярда расчет идёт по шагам; скорость шарика умножается на дельта тэ и прибавляется к его текущим координатам. Если при этом шарик попадет в "запрещенную конфигурацию", смотрим, с какими объектами он пересекся, и меняем его скорость соответствующим образом. Правда ли, что это хороший способ моделирования? Что тут может пойти не так, и что можно улучшить?

Да, это единственный честный способ моделирования на бесконечно большом компьютере при бесконечно большом времени. Пойти не так дело может тогда, когда оно упрется в конечность компьютера или в конечность времени. Эти две обе проблемы не есть проблема моделирования.

sab123 May 21st, 2013
Про экономику - фигня полная. Там явно теорию просто придумывали люди, имеющие слабое отношение к математическим теориям. Потому и напридумывали понятий и своих терминов заново. "предельное" - это вообще калька с "marginal", которое тоже является довольно странным словом, но несколько менее кривым.

vinslivins May 21st, 2013
тоже всегда убивала экономика, где люди не понимают слова "производная"

kodt_rsdn May 22nd, 2013
Задача 1: осмысленна, "среднегодовой доход нескольких пойманных на улице человек" :)
Хотя правильнее будет ловить и помечать, а то мы можем многократно поймать какого-нибудь назойливого бомжа или тщеславного миллиардера.

Задача 2: ЦПТ работает на независимых одинаково распределённых величинах (по крайней мере, со сравнимыми значениями матожидания и дисперсии). Ломаем любое из этих условий - и получаем фигню.
Жизненный пример: собрались как-то раз выпускники ПТУ на его юбилей. И сгруппировались по классам, и посчитали свой среднегодовой доход. И тут внезапно выяснилось, что среди этих работяг - слесарей-токарей затесался один олигарх. (Ломаем одинаковость).
Другой жизненный пример: сделали говнодатчик случайных чисел с циклом всего в 16. Написали, как полагается, srand(time()) и посчитали сумму из 16 последовательных rand()'ов. (Ломаем независимость).

Задача 3: это ж классика моделирования! Численное интегрирование методом Эйлера.
Первое, что нас ждёт, это накопление погрешностей вычисления. Луркать методы Рунге-Кутты.
Второе - если скорость слишком большая, то мы можем перепрыгнуть через препятствие и не заметить, а если слишком маленькое - будем сто лет интегрировать. Нужно, например, нормализовать вектор скорости. А если моделируем замедляющееся движение (шарик тормозится), то, до минимальной скорости будем искажать время (нормализуя скорость), а после минимальной - не искажать и не нормализовывать. В общем, это весёлое и увлекательное дело.

  • 1
?

Log in

No account? Create an account